בכמה יותר, בכמה פחות

בכמה יותר, בכמה פחות

כתבה חני גביש

כשאנחנו עושים השוואה בין שתי קבוצות של פריטים (איברים), אנחנו נוהגים לשאול: באיזו קבוצה יש יותר/פחות? בכמה יותר/פחות? מרבית הילדים יודעים להצביע על הקבוצה היותר גדולה/קטנה. הדרישה לחשב בכמה יותר/פחות היא דרישה קשה ומבלבלת עבור ילדים רבים. כדי שילדים יהיו מסוגלים להבין מושגים של בכמה יותר/פחות עליהם להבין שני מושגים בסיסיים יותר:

שוויון

אנחנו משווים, למשל, קבוצה בת 7 פריטים לעומת קבוצה בת 5 פריטים. בתוך השאלה בכמה 7 גדול מ –5  מסתתר הרעיון ש עלינו ליצור שוויון בין  ה  - 7 לבין  ה – 5.  כדי ליצור את השוויון עלינו להרחיק/להפחית/להסיר... מ – 7 , 2 יחידות.

השאלה בכמה 5 קטן מ – 7, היא בעצם השאלה הבאה: מה עלינו לעשות עם ה – 5 כדי ליצור שוויון בינו לבין ה – 7? כדי ליצור את השוויון עלינו להוסיף/לחבר/לתת… ל – 5 עוד 2 יחידות.

מסקנה: הבסיס ליכולת להבין "בכמה פחות/יותר" הוא הבנת השוויון.

ילד שאין לו מושג השוויון, לא יוכל להבין  מושגים של אי-שוויון (גדול מ…/קטן מ…).

הפרק העוסק ב – "השוואת מספרים"  (מתמטיקה יסודית - כתה א')  מדבר למעשה על השוואת קבוצות. הכלי באמצעותו אנו יכולים להשוות בין קבוצות הוא התאמה: עבור כל איבר/פריט בקבוצה האחת אנחנו מחפשים "בן-זוג" תואם בקבוצה האחרת. פעולת ההתאמה (שבסופה נדע האם שתי קבוצות שוות או שונות) מאפשרת למצוא את התכונה המשותפת לשתי קבוצות שיש להן איברים שונים: הכמות. כשאנו משווים בין 8 פרפרים ל – 8 פרחים: הפריטים בשתי הקבוצות שונים באופיים ועדיין יש לשתי הקבוצות תכונה משותפת: כמות הפריטים היא 8.

הפרש/פער

אחד המובנים של חיסור (שכאילו מובן מאליו) הוא הפרש או פער. כשאנו שואלים על פער/הבדל/הפרש בין נתונים/כמויות/יחידות אנחנו לא מתעניינים רק בכמויות ההתחלתיות אלא בעיקר ביחסים ביניהן (מי גדול/קטן ממי).

ההפרש עצמו מתייחס אל שיעור הפער (בין אם זה גדול מ… או קטן מ…) וכיון שכך לא משנה האם השאלה היא בכמה גדול או בכמה קטן, הפעולה החשבונית לחישוב ההפרש תהיה פעולת חיסור.

הצעה לפעילות

המורה מרימה שתי כפות ידיים.

מ. יש לנו שתי ידיים: יד ימין ויד שמאל. אני רוצה לדעת האם מספר האצבעות ביד ימין שווה למספר האצבעות ביד שמאל. מי יכול להראות לי איך פותרים שאלה כזאת?

הערה: אם הילדים ישיבו ש - "אפשר לספור", זה אומנם נכון אבל לא משרת ברגע זה את המטרה. במקרה שתשובה זו נאמרת בכיתה מומלץ שהמורה תאמר לילדים: "איך יפתור את השאלה הזאת מי שלא יודע לספור"?

ת. אני מחזיק שתי כפות ידיים קרוב אחת לשניה. אני מצמיד אגודל לאגודל, אצבע לאצבע, אמה לאמה, קמיצה לקמיצה, זרת לזרת. לכל אצבע ביד ימין יש לי אצבע מתאימה ביד שמאל. לא נשארה לי שום אצבע שאין לה בת זוג. אז אני חושב שמספר האצבעות ביד ימין שווה למספר האצבעות ביד שמאל.

מ. נכון מאוד. גיל אומר לנו שהוא עושה התאמה בין האצבעות של יד ימין לבין האצבעות של יד שמאל.

אני מבקשת שכל הילדים יבדקו עכשיו בעצמם שמספר האצבעות ביד ימין שווה למספר האצבעות ביד שמאל.

המורה עוברת בין הילדים ובודקת שלכל אצבע ביד אחת הם מצמידים אצבע מתאימה ביד האחרת.

מ. אם לכל אצבע ביד ימין יש בת זוג ביד שמאל, מה נוכל להגיד על שתי קבוצות האצבעות?

ת. שהן שוות.

מ. בואו ננסח משפט שלם.

אם לכל אצבע ביד ימין יש בת זוג ביד שמאל, יש אותו מספר של אצבעות בשתי כפות הידיים.

מורים, שימו לב! בשלב זה אנחנו נמנעים ממנייה בכוונה תחילה. תהליך ההשוואה בין קבוצות  נעשה ע"י התאמה ומציאת בן זוג (בקבוצה א')  לכל פריט (בקבוצה ב') הוא שלב  ראשוני וטבעי לכל ילד.

מ. המורה מזמינה לקדמת הכיתה ארבעה ילדים (בלי להכריז על כמות הילדים). בידה היא מחזיקה ארבעה פקקים.

מ. טלי, אופיר, ניצן ותום בואו אלי. תראו, יש לי ביד פקקים. אני רוצה לדעת האם יש לי מספיק פקקים לכל הילדים שהזמנתי אלי? אני רוצה שתראו האם יש לי מספיק פקקים?

ת. לכל  ילד תתני פקק ואז תדעי האם יש לך מספיק פקקים לכולם.

המורה נותנת פקק לכל אחד מארבעת הילדים.

מ. האם הפקקים שהיו לי הספיקו לכל הילדים?

ת. כן.

מ. הסבר

ת. כל ילד קבל פקק. לא נשאר שום ילד בלי פקק.

מ. נכון. לא נשאר שום ילד בלי פקק. האם נשאר איזה שהוא פקק בלי ילד?

ת. לא

מ. אז מה אנחנו יכולים להגיד על קבוצת הילדים ועל קבוצת הפקקים?

ת. הן קבוצות שוות.

מ. בקבוצה אחת יש ילדים ובקבוצה שניה יש פקקים אז, במה הן שוות?

ת. שתי הקבוצות שוות במספר הפריטים: 4 ילדים, 4 פקקים.

מ. מצוין.

המורה מציירת על הלוח 5 בלונים (לצייר בתפזורת ולא בקו אופקי או אנכי) ובמרחק מה  5 חוטים.

מ. אני רוצה שכל בלון יהיה קשור בחוט ואני לא יודעת האם יש לי מספיק חוטים לבל הבלונים. מי יוכל להראות לי האם יש מספיק חוטים?

ת. אני מאריך כל חוט עד שהוא יגיע לבלון אחד. הנה, לכל הבלונים יש חוטים, אז יש לך מספיק.

מ. האם יש חוט שנשאר בלי בלון?

ת. לא

מ. האם יש בלון שנשאר בלי חוט?

ת. לא.

מ. אז מה אנחנו יכולים להגיד על קבוצת הבלונים ועל קבוצת החוטים?

ת. שתי הקבוצות שוות.

מ. הסבר

ת. לכל חוט מקבוצת החוטים יש בן זוג, בלון, מקבוצת הבלונים. אף אחד לא נשאר בלי בן-זוג.

מ. ילדים, יש פה משהו מוזר. אני ציירתי קבוצה של בלונים וקבוצה של חוטים ואתם אומרים ששתי הקבוצות שוות. האם בלונים שווים לחוטים?

ת. את ממש מצחיקה. בלונים לא שווים לחוטים. כמות הבלונים שווה לכמות החוטים.

מ. נכון מאוד. בכל אחת מהקבוצות יש פריטים שונים. בקבוצה הזאת יש בלונים ובקבוצה הזאת יש חוטים. בכל זאת לשתי הקבוצות יש משהו  משותף. מה משותף?

ת. הכמות.

מ. נכון. אנחנו יכולים לומר ששתי הקבוצות שוות בכמות הפריטים שלהן או שאנחנו יכולים לומר שהכמות היא התכונה המשותפת לשתי הקבוצות האלה.

במקרה של הבלונים והחוטים, הכמות המשותפת לשתי  הקבוצות היא 5.

המורה מזמינה ילד ונותנת  לו 4  מקלות מבלי שהיא מונה אותם.

מ. טלי בואי אלי. אני נותנת לך מקלות.  (המורה תסדר את המקלות בידה של טלי כך שכל הילדים יוכלו לראותם בברור). עכשיו, אני מבקשת ממך לקחת ביד שמאל קבוצה אחרת של מקלות כך שכמות המקלות בשתי הידיים תהיה שווה.

טלי לוקחת את המקלות הנוספים בידה השמאלית.

מ. האם קבוצת המקלות שיש לטלי ביד ימין שווה לקבוצת המקלות שיש לטלי ביד שמאל?

ת. כן

מ. כיצד תראו לי שהקבוצות שוות?

ת. אנחנו נבקש מטלי להחזיק את הידיים קרוב, זו מול זו. בואו נראה האם לכל מקל ביד ימין יש  מקל בן זוג ביד שמאל?

מ. נכון מאוד. איזו פעולה הציע לנו יובל?

ת. לעשות התאמה בין שתי הקבוצות

מ. נכון. ומה התוצאה של ההתאמה שלנו?

ת. שתי קבוצות המקלות שוות כי לכל מקל ביד שמאל יש בן זוג מקל ביד ימין.

מ. מהי התכונה המשותפת לשתי קבוצות המקלות?

ת. הכמות שלהם.

מ. נכון, בשתי הקבוצות אותה כמות של מקלות.

מ. האם אנחנו יכולים לדעת מהי כמות המקלות?

ת. כן

מ. כיצד נוכל לדעת?

ת. פשוט מאוד, נמנה את המקלות. יש בכל יד 4 מקלות.

מ. אני מבקשת שכל ילד יניח על שולחנו ערמה קטנה של אביזרים.

     אחרי שהנחתם את הערמה, מנו את הפריטים ורשמו את המספר על הלוחות.

מ. נדב כמה פריטים יש בערמה שלך? תומר…, יעל…,

מ. השאירו את הפריטים במקומם. ועכשיו, עליכם ליצור  עוד קבוצה. אני מבקשת ששתי הקבוצות תהיינה שוות. כיצד תוכלו להראות ששתי הקבוצות שוות?

ת. אני בחרתי מקלות ואני מסדרת אותם בשורה. עכשיו אני שמה חרוז מול כל מקל. יש לי שורה של חרוזים ויש לי שורה של מקלות. לכל מקל התאמתי בן-זוג חרוז ועכשיו הקבוצות שלי שוות.

מ. פעלת נכון.

ת. יש עוד דרך לעשות את זה.

מ. הסבר

ת. את ביקשת שיהיו לנו שתי קבוצות שוות. הקבוצות צריכות להיות שוות בכמות.

מ. אתה צודק. הסבר.

ת. אני מבין שבכל קבוצה צריך להיות אותו מספר של פריטים. אני יכול למנות את ערמת הפסטה שלקחתי, אני סופר 9 פסטות. עכשיו אני צריך עוד קבוצה שיש בה 9 פריטים אחרים. נראה מה יש לי בסלסילה… אני לוקח 9 גפרורים. עכשיו יש לי שתי קבוצות שוות.  

מ. מהן שתי הקבוצות של עומרי?

ת. פסטות וגפרורים.

מ. האם שתי הקבוצות של עומרי שוות?

ת. כן

מ. איך אנחנו יכולים להראות ששתי הקבוצות של עומרי שוות?

ת. אני יכולה להתאים בין שתי הקבוצות. למצוא לכל פסטה גפרור בן זוג. אם לכולם יהיה בן זוג, סימן שהקבוצות שוות.

מ. מי יכול להראות לנו בדרך אחרת?

ת. אני יכול למנות.

מ. הסבר.

ת. אם אנחנו רוצים ששתי הקבוצות תהיינה שוות, צריך לחפש תכונה משותפת.

מ. נכון. מהי התכונה המשותפת?

ת. הכמות. צריך שבקבוצה של הפסטות יהיו 9 פריטים וגם בקבוצה של הגפרורים צריך 9 פריטים.

מ. אור כמה אחים/אחיות יש לך?

ת. שניים

מ. כמה ילדים במשפחה שלך יחד איתך?

ת. שלושה

מ. אצל מי עוד יש במשפחה שלושה ילדים.

ת. מרימים ידיים

מ. גם אצל לירון, נופר, שירה, אלעד… יש שלושה ילדים במשפחה.

מ. מה אנחנו יכולים להגיד על המשפחות של לירון, נופר, שירה, אלעד…

ת. הן שוות

מ. המשפחה של לירון היא אותה המשפחה של נופר?

ת. זו לא אותה משפחה. לכל ילד יש המשפחה שלו, אבל יש תכונה משותפת למשפחות האלה?

מ. זה נכון. מהי התכונה המשותפת?

ת. מספר הילדים. 

מ. בכל המשפחות האלה יש אותו מספר ילדים. הן שוות במספר הילדים. לכולן שלושה ילדים.

המורה מציירת על הלוח 5 פרחים ומתחתם במרחק מה 3 עציצים. היא אינה מונה אותם.

מ. השבוע הייתי בחנות פרחים. על אחד המדפים היו פרחים ועציצים. מה אתם אומרים, האם יש מספיק עציצים בשביל כל הפרחים?

ת. לא

מ. אני רוצה שתראי לי שאין מספיק עציצים.  חברי בקו כל פרח שיש לו עציץ.

ת. את רואה, רק לשלושה פרחים יש עציצים.

מ. האם קבוצת העציצים שווה לקבוצת הפרחים?

ת. לא.

מ. נכון הקבוצות לא שוות. הן שונות. מה שונה בהן?

ת. כמות הפריטים.

מ. נכון. באיזו קבוצה יש יותר פריטים?

ת. קבוצת הפרחים יותר גדולה.

מ. נכון. באיזו קבוצה יש פחות פריטים?

ת. קבוצת העציצים.

ש. אמרתם שקבוצת הפרחים יותר גדולה מקבוצת העציצים.  אני רוצה לדעת כמה פרחים יש יותר מעציצים?  מי יכול להראות לי כיצד למצוא את התשובה?

ת. תעשי התאמה בין שתי הקבוצות.

מ. הסבר.

ת. אנחנו יודעים שיש יותר פרחים מעציצים. אם נתאים לכל פרח, בן זוג עציץ נוכל לראות כמה פרחים ישארו בלי עציצים?

מ. נכון מאוד ניתאי. בוא הראה לנו על הלוח.

ת. עד כאן זה שווה. שלושה עציצים ושלושה פרחים. אבל יש לנו עוד פרחים ואין לנו עוד עציצים.

מ. נכון מאוד. אז, מה יש יותר?

ת. פרחים.

מ. כמה פרחים יותר מעציצים?

ת. 2.

מ. מצוין.

מ. התבוננו שוב בציור. מה יש פחות?

ת. עציצים.

מ. כמה עציצים יש פחות מפרחים?

ת. כמה עציצים פחות מפרחים זה כמו לשאול כמה עציצים חסרים לנו.

מ. נכון. כמה עציצים חסרים?

ת. 2.

מ. אני מבקשת שכל ילד יניח  על שולחנו שתי קבוצות נפרדות של אביזרים בלי למנות אותם .

עכשיו מנו את מספר האביזרים בכל קבוצה ורשמו על הלוח שלכם כמה פריטים מונה כל קבוצה.

המורה עוברת בין הילדים ומוודאת שבצעו נכון את ההוראה.

מ. יונתן כמה  חרוזים יש לך בכל קבוצה?

ת. בקבוצה אחת יש לי 9 חרוזים ובקבוצה השניה יש לי 7 חרוזים.

מ. האם שתי הקבוצות של יונתן שוות? האם בשתי הקבוצות יש אותה כמות של חרוזים?

ת. לא.

המורה מזמינה את אחד הילדים ללוח.

מ. יניב, כיצד תוכל להראות לנו שבשתי הקבוצות אין אותו מספר של חרוזים?

ת. לכל חרוז כחול אני אחפש בן-זוג צהוב ואז נראה.

מ. איזו פעולה עושה יניב?

ת. התאמה.

מ. יניב, מה אתה יכול לומר על שתי קבוצות החרוזים?

ת. שתי הקבוצות אינן שוות. יש יותר חרוזים צהובים מחרוזים כחולים.

מ. כמה חרוזים צהובים יש יותר מחרוזים כחולים?

ת. 2 .

מ. הסבר.

ת. יש 2 חרוזים צהובים שאין להם בן זוג כי אין מספיק חרוזים כחולים.

מ. בואו נספור את החרוזים הצהובים.

ת. מקהלה מדברת: 1, 2,… 9

מ. כמה חרוזים צהובים יש לנו?

ת. תשעה.

מ. בואו נספור את החרוזים הכחולים.

ת. מקהלה מדברת: 1, 2,…7

מ. כמה חרוזים כחולים יש לנו?

ת. שבעה.

מ. איזו פעולה חשבונית נעשה כדי לדעת בכמה גדול מספר החרוזים הצהובים ממספר החרוזים הכחולים?  

ת.                     2 = 7 - 9

שאלות לתרגול

מ. מה רואים בציור?

ת. חתולים וכדים.

מ. כל חתול רוצה כד חלב. כיצד נוכל לדעת האם יש מספיק כדי חלב לכל החתולים?

ת. נעשה התאמה.

מ. הסבר

ת. נחפש  לכל חתול בן-זוג, כד חלב.

מ. כיצד נעשה את זה?

ת. נמתח קו מכל חתול לכד חלב.

מ. מה מצאנו?

ת. לכל חתול יש כד חלב.

מ. אם כך, האם הקבוצות שוות?

ת. הקבוצות לא שוות. יש יותר כדי חלב מאשר חתולים.

מ. נכון. מי יודע איזה תרגיל חשבוני אנחנו צריכים לעשות כדי לדעת כמה כדים יותר מחתולים?

ת.                  3  =  5  - 8

מ. מצוין. יש לנו שלושה כדים יותר מחתולים. זה אומר שלשלושה כדים אין חתולים.

מ. כמה קבוצות אנחנו רואים בציור?

ת. שתיים

מ. מהן הקבוצות?

ת. עצים וציפורים.

מ. כל ציפור רוצה לבנות קן על עץ נפרד. כיצד נוכל לדעת האם יש מספיק עצים

לכל הציפורים?

ת. נעשה התאמה.

מ. הסבר

ת. נחפש לכל ציפור, בן-זוג עץ ואז נוכל לדעת.

מ. איך נחפש?

ת. נמתח קו מציפור לעץ

מ. מה אנחנו רואים?

ת. לכל ציפור יש עץ.

ת. גם לכל עץ יש ציפור

מ. אז מה אנחנו יכולים להגיד על שתי הקבוצות?

ת. הן שוות.

מ. מהי התכונה המשותפת?

ת. כמות הפריטים. בכל קבוצה יש 6: שישה עצים, שש ציפורים.

פרופ' בני שור מאוניברסיטת תל-אביב, מוסיף הערה למורים או להורים, להרחבת הדעת: 

כדי לקבוע אם שתי קבוצות הן שוות גודל או לאו, ניתן כמו שרואים בספר הראשון לכיתה א' שלמתמטיקה יסודית [שיטת סינגפור]  בעמוד 12, לחפש התאמה בין הקבוצות.

יש כמובן עוד שיטה, שונה לחלוטין: למנות כמה עצמים יש בכל  אחת  מהן, ולהשוות את שני המספרים המתקבלים, כפי שמוצאים בהמשך אותו ספר לכיתה א' בעמוד 13.

מעניין לבדוק מה קורה כשמעוניינים  לקבוע האם שתי קבוצות אינסופיות הן שוות גודל או לאו.  כאןלא ניתן למנות, אך מתברר כי עדיין ניתן להשוות גדלים בעזרת התאמה בין הקבוצות. קבוצות הן שוות גודל  (מינוח  מקובל יותר הוא "שוות עוצמה") רק אם יש התאמה ביניהן. בצורה זו ניתן להיווכח  כי קבוצת המספרים הטבעיים ...,1,2,3 וקבוצת המספרים הזוגיים ...,2,4,6 הן שוות עוצמה: ההתאמה מכל מספר טבעי, n ,  אל פעמיים המספר,  2n , מראה זאת. ניתן גם להוכיח כי קבוצת המספרים הטבעיים וקבוצת כל המספרים הממשיים אינן שוות עוצמה. ההוכחה יפהפיה אך סבוכה מדי להערת שוליים. תחום זה של המתמטיקה נקרא "תורת הקבוצות".

כאשר מלמדים בכיתה א', כמו במתמטיקה יסודית, מניחים את היסודות להבנת תורת הקבוצות ברמה האקדמית.

בני שור הוא פרופ' למדעי המחשב וחבר בעמותה הישראלית  לקידום החינוך המתמטי

לכל

www.ifma.org.il